Пускай - это разговорный вариант
Пусть, поэтому в офиц. обстановке лучше говорить "пусть".
Двигаться, двигаюсь, двигаешься и
движусь, движешься;
двигающийся и
движущийся.
Употребляются оба варианта. Всё зависит от контекста и оттенков значения.
Например, двигаешься - просто делаешь какие-либо движения / следуешь куда-либо.
движешься - следуешь в определённом направлении, есть какая-то напрвленность движения.
Здесь тонкая грань, но надо смотреть по контексту.
[Ответ]